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Berechnung von Steigungen

Die Gradiente (oder Steigung) eines physischen Merkmals, einer Landmarke oder einer konstruierten Linie bezieht sich auf den Tangens des Winkels dieser Fläche zur Horizontalen. Grad ist ein Sonderfall der Neigung, bei dem Null die Horizontalität angibt. Eine größere Zahl zeigt einen höheren oder steileren Neigungsgrad an. Oft wird die Steigung als Verhältnis von vertikaler zu horizontaler Entfernung berechnet.

Elemente der Steigungsberechnung.

Elemente der Steigungsberechnung.

Um Steigungen zu messen, haben wir verschiedene Optionen auf dem Quadranten. Sie alle beginnen damit, eine der Kanten des Instruments parallel zur zu messenden Steigung auszurichten. Um das Ergebnis zu bestimmen, können wir zwischen 4 Skalen wählen:

  1. Gradskala auf dem Quadranten
  2. Gradskala an der Kante des Instruments
  3. Prozentskala auf dem Quadranten
  4. Schattenquadrat

Messen in Grad

In Grad messen wir den Neigungswinkel zur Horizontalen. Dies ist der Winkel θ gegenüber der "Anstiegsseite" eines Dreiecks mit einem rechten Winkel zwischen vertikalem Anstieg und horizontaler Entfernung. Der Tangens von θ ist gleich dem Anstieg geteilt durch die Entfernung. Daraus folgt:

tan(θ) = Anstieg / Entfernung    
    θ  = arctan(Anstieg / Entfernung)

Messen in Prozent

Prozent sind das Ergebnis der Formel:

100 × Anstieg / Entfernung

was man auch ausdrücken kann als:

100 × tan(Steigungswinkel)

Messen als Verhältnis (Gradiente)

Gradiente, oder das Verhältnis von einem Teil Anstieg zu mehreren Teilen Entfernung. Zum Beispiel hat eine Steigung mit einem Anstieg von 5 m pro 100 m eine Steigung von 1:20.

Durch die Kombination der Verwendung von Schattenquadrat und Steigungsskala können wir Anstieg und Entfernung gut visualisieren und den Prozentsatz in einem Schritt ablesen.

Um den Grad der Steigung aus einem Anstieg/Entfernungs-Paar zu berechnen, stellen wir die Werte für Anstieg und Entfernung auf dem Schattenquadrat ein und lesen den Steigungsprozentsatz und den Steigungswinkel direkt auf den jeweiligen Skalen ab.

Wenn wir einen gegebenen Steigungswert in Prozent haben, können wir diesen natürlich mithilfe der beiden benachbarten Skalen in Grad umrechnen und umgekehrt.

Beispiele

Messen von Steigung in Grad

Messen von Steigung in Grad: 19° auf der Transversalskala, gemessen parallel zur kurzen Kante des Telemeters. Man beachte die Quadrantskala mit 90 - 19°.

Messen von Steigung in Prozent

Messen von Steigung in Prozent, parallel zur langen Kante des Telemeters: ~3° oder 5%. Vgl. das Schattenquadrat: zwischen 0 und 1 auf der 10er-Skala, also 1/20 (= 5%).

Gegeben sind Anstieg = 1 m, Entfernung = 20 m.

Grad:

tan (θ) = (1/20)    
     θ  = arctan(1/20)    
     θ  = 2,86°

Prozent:

Steigung = 1/20
         = 0,05 × 100
         = 5%

Verhältnis:

Steigung = 1/20
         = 1:20

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