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Schattenquadrat

Das Schattenquadrat wird für Vermessungsaufgaben genutzt; um Höhen, Tiefen und Entfernungen zu ermitteln. Das zu vermessende Objekt (bzw. dessen höchster Punkt) wird mit dem Quadranten (mit dem Schattenquadrat) anvisiert und das Verhältnis von Höhe zu Entfernung (die Tangente des Höhenwinkels) auf einer der Schattenskalen abgelesen.

Die horizontale Schattenskala wird 'umbra recta' genannt, Lateinisch für wahrer, oder gerader Schatten und beschreibt den Tangens. Die vertikale Schattenskala wird 'umbra versa' genannt, Lateinisch für gedrehter, oder aufrechter Schatten; der Cotangens.

Um die Höhe eines Objekts zu messen, simuliert das Schattenquadrat das Verhältnis zwischen einem Objekt (allgemein: einem Gnomon), und dessen Schatten. Wenn die Sonnenstrahlen aus einem Winkel zwischen 0° und 45° kommen, wird der umbra versa (vertikale Achse) verwendet, zwischen 45° und 90° wird der umbra recta (horizontale Achse) verwendet, und wenn die Sonne genau bei 45° steht, dann ist das der umbra media. Mit jedem Wert auf umbra recta korrespondiert ein Wert auf umbra versa.

Mit dem Schattenquadrat kann man Telemeterberechnungen und die entsprechenden Dreiecke visualisieren aber auch direkt rechnen (und visieren).

Messungen und Berechnungen

  • Über die umbra recta Skala rechnen wir:
    Entfernung = Höhe × (12 / abgelesener Wert)
  • Über die umbra versa Skala rechnen wir:
    Höhe = Entfernung × (abgelesener Wert / 12)

(Ob wir die 10- oder 12-geteilte Skala verwenden, hängt nur davon ab, auf welcher Skala die genauere Ablesung möglich ist.)

Beispiel: Ermitteln von Höhe oder Entfernung mit jeweils bekanntem anderen Wert

  1. Die bekannte Entfernung sei 457 m und die Winkelgröße 6°. Das Äquivalent von 6° auf dem Schattenquadrat ist ca. 1/10; und da wir die Höhe des Objekts messen, ist die Formel:
    Höhe = Entfernung × (abgelesener Wert / 10)
    oder 457 m × 1/10 = 46 m
    Die Telemeter-Nomograph Kontrollrechnung ergibt: ca. 50 m.
  2. Die bekannte Höhe sei 46 m und die Winkelgröße 17°. Das Äquivalent von 17° auf dem Schattenquadrat ist ca. 3/10; und da wir die Entfernung des Objekts messen, ist die Formel:
    Entfernung = Höhe × (10 / abgelesener Wert)
    oder 46 m × 10/3 = 153 m
    Die Telemeter-Nomograph Kontrollrechnung ergibt: ca. 147 m.

Beispiel: Echte Schatten nutzen

Verwendung des Schattenquadrats.

8/12 auf dem Schattenquadrat (umbra recta) entspricht auf der Steigungsskala einem Tangens von ca. 1,48 => arctan(1,48) = 56°.

  1. Wenn Ihr Schatten 4 Fuß lang ist, wie hoch steht die Sonne? Diese Frage kann mithilfe eines Schattenquadrats beantwortet werden. Das Schattenquadrat hat eine Skala in 10 Teilen, sowie eine weitere Skala in 12 Teilen. Wenn wir in Fuß rechnen, ist die 12-Teilung praktisch. Indem wir die Schnur auf die 8 stellen (4 Fuß Schatten / 6 Fuß Körpergröße = 4/6 = 8/12) können wir auf der Winkelskala sehen, daß die Sonne bei ca. 56° steht.
  2. Wenn der Schatten länger ist als die Skala, teilen wir sowohl die Körpergröße als auch die Schattenlänge durch denselben Wert und erhalten so unser Ergebnis. (Siehe auch: Skalensprung)

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