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Schattenquadrat

Level: Basis

Das Schattenquadrat wird für Vermessungsaufgaben genutzt; um Höhen, Tiefen und Entfernungen zu ermitteln. Es kann zur Berechnung bekannter Werte sowie zum Absehen und damit zum Erfassen von Werten verwendet werden. Das zu untersuchende Objekt (z. B. die Spitze eines Turms) wird entlang der Kante des Instruments gesichtet. Das unbekannte Verhältnis von Höhe oder Entfernung (der Tangens des Winkels) wird auf einer der Schattenskalen abgelesen.

Die horizontale Schattenskala wird 'umbra recta' genannt, Lateinisch für wahrer, oder gerader Schatten und beschreibt den Tangens. Die vertikale Schattenskala wird 'umbra versa' genannt, Lateinisch für gedrehter, oder aufrechter Schatten; der Cotangens.

Man beachte, dass cot(x) = 1/tan(x), also ist der Cotangens der Kehrwert des Tangens, während arctan(x) der Winkel ist, dessen Tangens x ist.

Um die Höhe eines Objekts zu messen, simuliert das Schattenquadrat das Verhältnis zwischen einem Objekt (allgemein: einem Gnomon), und dessen Schatten. Wenn die Sonnenstrahlen aus einem Winkel zwischen 0° und 45° kommen, wird der umbra versa (vertikale Achse) verwendet, zwischen 45° und 90° wird der umbra recta (horizontale Achse) verwendet, und wenn die Sonne genau bei 45° steht, dann ist das der umbra media. Mit jedem Wert auf umbra recta korrespondiert ein Wert auf umbra versa.

Mit dem Schattenquadrat kann man Telemeterberechnungen und die entsprechenden Dreiecke visualisieren aber auch direkt rechnen (und visieren).

Messungen und Berechnungen

Die Entfernungsformel

Auf der Basis der umbra recta Skala rechnen wir:

Entfernung = Höhe × (12 / abgelesener Wert)    
           = Höhe × cot(Winkel des Wertes)

Die Höhenformel

Auf der Basis der umbra versa Skala rechnen wir:

Höhe = Entfernung × (abgelesener Wert / 12)    
     = Entfernung × tan(Winkel des Wertes)

(Ob wir die 10- oder 12-geteilte Skala verwenden, hängt nur davon ab, auf welcher Skala die genauere Ablesung möglich ist.)

Beispiel 1: Echte Schatten nutzen

Verwendung des Schattenquadrats.

8/12 auf dem Schattenquadrat (umbra recta) entspricht auf der Steigungsskala einem Tangens von 1,5 => arctan(1,5) ≈ 56°.

Wenn unser Schatten 4 Fuß lang ist, wie hoch steht die Sonne?

Diese Frage kann mithilfe eines Schattenquadrats beantwortet werden. Das Schattenquadrat hat eine Skala in 10 Teilen, sowie eine weitere Skala in 12 Teilen. Wenn wir in Fuß rechnen, ist die 12-Teilung praktisch.

  1. Mit der Technik des Skalensprungs multiplizieren wir 6 ft × 2 und machen dasselbe mit dem Schatten; 4 Fuß × 2: 4 Fuß Schatten / 6 Fuß groß = 4/6 = 8/12.
  2. Wenn wir die Schnur auf die 8 setzen, können wir auf der Gradskala ablesen, dass sich die Sonne bei einer Höhe von etwa 56° befindet.

Wenn unser Schatten 18 Fuß lang ist, wie hoch steht die Sonne?

Wir verwenden wieder die 12-Teilung des Schattenquadrats (weil wir den menschlichen Körper als Maß verwenden und in Fuß rechnen).

  1. Verwenden des Skalensprungs, diesmal umgekehrt: Der längste Schatten, der auf dem Schattenquadrat abgelesen werden kann, ist zwölf Fuß. Wenn der Schatten länger ist als die Skala, teilen wir sowohl die Körpergröße als auch die Schattenlänge durch denselben Wert und erhalten so unser Ergebnis.
  2. Die Aufgabe besteht darin, herauszufinden, wie groß der Gnomon wäre, wenn er in derselben Situation einen 12-Fuß-Schatten werfen würde: Um einen 12-Fuß-Schatten zu werfen, wäre der Gnomon 4 Fuß groß: 12 Fuß Schatten / 4 ft groß = 4/12 = 6/18.
  3. Wenn der Schatten länger als der Gnomon ist, drehen wir zuerst das Instrument und stellen die Schnur auf 4, die Höhe des projizierten Gnomons, und lesen dann die Höhe von der Höhenskala ab.
  4. Wir lesen ab, dass die Sonne 19° über dem Horizont steht.

Ermitteln der Sonnenhöhe mithilfe eines LEGO-Steins

Ermitteln der Sonnenhöhe mithilfe eines LEGO-Steins.

10/12 auf dem Schattenquadrat (umbra versa; man beachte den "Überlauf") für einen Tangenswert (auf der Steigungsskala) von ca. 0,8 wobei arctan(0,8) = 39°.

Statt unseren eigenen Schatten zu verwenden und mit einem Maßband zu messen, können wir einen Schatten mit dem Schattenquadrat auf dem Schattenquadrat selbst messen.

  1. Wir nehmen einen LEGO-Stein (oder ein beliebiges kleines Objekt) und richten ihn an der Nullmarke der Sexagesimalskala des Quadranten aus.
  2. Wir drehen das Instrument so, dass es zur Sonne zeigt, und lesen die Länge des Schattens auf der Skala ab.
  3. In unserem Beispiel haben wir eine Schattenlänge von 12 und messen die Objektbreite mit 10 (man beachte, dass dies einheitslos ist, wir benötigen nur das Verhältnis, die absoluten Abmessungen spielen keine Rolle).
  4. Wir haben ein Schattenverhältnis von 10/12, was bedeutet, dass der Schatten eines Stabes mit einer Höhe von 1 Einheit eine Länge von 1,2 Einheiten hat.
  5. Wir verwenden das Schattenquadrat, um die Schnur von 10/12 auf die Umbra Versa zu projizieren (vgl. wie der Wert auf der Tangenskala in 0,8 übersetzt wird), und lesen den Arkustangens auf der Winkelskala ab (alternativ ist der Cotangens von 12/10 = 1,2 und wir ziehen das Ergebnis von 90° ab).
  6. ~39° ist unsere Sonnenhöhe.

Dies geht auf Al-Battani in seinen Astronomischen Tafeln zurück:

Al-Battani gab eine Regel an, um die Höhe θ der Sonne über dem Horizont in Bezug auf die Länge s des von einem vertikalen Gnomon der Höhe h geworfenen Schattens zu bestimmen. Die Al-Battani-Regel s = h sin(90° - θ) / sin θ entspricht der Formel s = h cot θ. Basierend auf dieser Regel konstruierte er für jedes Grad von 1° bis 90° eine "Tabelle der Schatten", im Wesentlichen eine Tabelle der Kotangenten.

Beispiel 2: Ermitteln von Höhe oder Entfernung mit jeweils bekanntem anderen Wert

Die bekannte Entfernung sei 457 m und die Winkelgröße 6°.

  1. Das Äquivalent von 6° auf dem Schattenquadrat ist ca. 1/10; und da wir die Höhe des Objekts messen:
  2. 457 m × 1/10 = 46 m
  3. Die Telemeter-Nomograph Kontrollrechnung ergibt: ca. 50 m.

Die bekannte Höhe sei 46 m und die Winkelgröße 17°.

  1. Das Äquivalent von 17° auf dem Schattenquadrat ist ca. 3/10; und da wir die Entfernung zum Objekts messen:
  2. 46 m × 10/3 = 153 m
  3. Die Telemeter-Nomograph Kontrollrechnung ergibt: ca. 147 m.

Beispiel 3: Absehen mit dem Schattenquadrat

Wir können das Schattenquadrat verwenden, um Entfernungen zu oder die Höhe von Objekten direkt zu messen, vorausgesetzt, ein Wert ist bekannt.

Um das Verhältnis von Abstand zu Höhe zu bestimmen, verwenden wir das Schattenquadrat, um parallel zur vertikalen Skala umbra versa entlang der unterbrochenen Kante des Instruments so zu visieren, dass die Sichtlinie an die Spitze des zu messenden Objekts zeigt. Die umbra recta wird durch den Wert auf der Skala geteilt, der von der Schnur auf der umbra versa gekreuzt und mit der Höhe des Objekts multipliziert wird, um die Entfernung zu erhalten.

Wie weit ist der Leuchtturm entfernt?

Messung der Entfernung zu einem Leuchtturm.

Messung der Entfernung zu einem Leuchtturm (bekannter Höhe) von einem Boot.

Die Höhe des Leuchtturms sei 30 m

  1. Wir visieren mit dem Quadranten und erhalten umbra versa = 7
  2. Umbra recta = 12
  3. Demnach ist die Entfernung = 12/7 × 30 = 51,3 m

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